F(x)=-x²-2ax+b a≠0
Если f(1)=3 и максимальное значение f(x) =4 тогда чему равны а и b?
Решение
Из начальных условий f(1)=3 при х=1, следовательно
f(1)=-1²-2a*1+b=-2a+b-1
-2a + b - 1 = 3
b -2a = 4
Графиком функции F(x)=-x²-2ax+b является парабола с ветвями направленными вниз так как коэффициент перед x² меньше нуля.
Найдем вершину параболы
Производная функции равна
F'(x)=(-x²-2ax+b)' =-2x-2a
Найдем критическую точку приравняв производную к нулю
F'(x)=0
-2x-2a =0
х=-а
В точке х=-а функция имеет максимум так как ее производная при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус.
+ 0 -
----------!----------
-а
Можно также сразу найти точку максимума параболы так как для параболы y =ax²+bx+c
эта точка x =-b/(2a)
В нашем примере b=-2a, a=-1
x=-(-2a)/(2*(-1))=-a
Найдем значение максимум подставив x=-a в уравнение функции
f(-a)=-(-a)²-2a(-a)+b=-a²+2a²+b=a²+b
Из начальных условий максимальное значение равно 4, следовательно
a²+b = 4
Для нахождения значения параметров a и b необходимо решить систему уравнений
Поскольку правые части уравнений равны 4 то приравниваем левые части уравнений
a²+b=b-2a
a²+2a=0
a(a+2)=0
a=0 не подходит так как по условию задачи a≠0
a=-2
Из первого уравнений системы уравнений находим значение параметра b
b=4+2a=4+2(-2)=0
Запишем искомое уравнений функции
F(x)=-x²+4x
Проверим
F(1) =-1+4=3
xmax=-4/(2*(-1))=2
F(2)=-2²+4*2=-4+8=4
Ответ: а=-2, b=0