Часть речи
Часть речи слова старушка — имя существительное.Морфологические признаки: Начальная форма: старушка (именительный падеж единственного числа);Постоянные признаки: нарицательное, одушевлённое, женский род, 1-е склонение;Непостоянные признаки: именительный падеж, единственное число.Синтаксическая роль
Может быть различным членом предложения, смотрите по контексту.