Докажите что при каждом натуральном n справедливо...

Требуется доказать, что:
$1+3+6+...+ \frac{(n-1)n}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$
выполняется для любых натуральных n.

База индукции:
n=1
$...+ \frac{(n-1)n}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6} \\ \frac{1*2}{2} = \frac{1*2*3}{6} \\ 1 = 1$
База верна.

Переход:
Пусть для n = k равенство соблюдается, докажем для n = k+1:
$n=k: \\ 1+3+6+...+ \frac{(k-1)k}{2} + \frac{k(k+1)}{2} = \frac{k(k+1)(k+2)}{6} BEPHO \\ n=k+1: \\ 1+3+6+...+ \frac{(k-1)k}{2} + \frac{k(k+1)}{2} + \frac{(k+1)(k+2)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}$
Подставим правую часть верхнего равенства вместо равной ей суммы слагаемых в левой части нижнего равенства:
$\frac{k(k+1)(k+2)}{6} + \frac{(k+1)(k+2)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}$
Домножим на 6:
$k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3) \\ k + 3 = k+3$
Получили верное равенство. Исходя из метода математической индукции, равенство верно для любых натуральных n.