|3x-5|+|3+2x|-2x|x+1|=0

$|3x-5|+|3+2x|-2x|x+1|=0.$

Если $x \leq 0,$ первое слагаемое |3x-5| положительно, второе |3+2x| неотрицательно, третье слагаемое -2x|x+1| неотрицательно. Поэтому их сумма положительна, что означает, что при таких x решений нет.

Если x положителен, 3+2x положительно и x+1 положительно, поэтому второй и третий модули можно опустить. Получаем

$|3x-5|+3+2x-2x^2-2x=0;\ |3x-5|=2x^2-3.$

Если $x \geq 5/3,$ модуль раскрывается с плюсом, получаем уравнение

$3x-5=2x^2-3;\ 2x^2-3x+2=0;\ D=9-16\ \textless \ 0\Rightarrow$ решений нет.

Если $0<x\ \textless \ 5/3,$ модуль раскрывается с минусом, получаем уравнение

$5-3x=2x^2-3;\ 2x^2+3x-8=0;\ x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{4}.$

Отрицательный корень отбрасываем сразу, положительный начинаем сравнивать с 5/3.

$\frac{-3+\sqrt{73}}{4}\ \textless \ \frac{-3+9}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\ \textless \ \frac{5}{3}.$

Поэтому это решение мы утверждаем.

Ответ: $\frac{\sqrt{73}-3}{4}$