В прямой треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB = AC = 5, BC = 6, AA1 =...

Question

В прямой треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB = AC = 5, BC = 6, AA1 = 3.Найдите расстояние от точки C1 до плоскости A1BC.
Ответ должен получиться 12/5

Answer 1

Достроим треугольник А1ВС до параллелограмма А1ВСК, т.к. С1 проецируется на его плоскость вне ∆ А1ВС

А1К параллельна и равна ВС и В1С1 ⇒ 

А1В1С1К - параллелограмм, А1С1 в нем диагональ; 

треугольник А1С1К равнобедренный,  А1М=КМ=3.  С1М его высота.  и равна 4 ( ∆ КМС1 - египетский, можно проверить по т.Пифагора).

По т.Пифагора СА1=√(СС1²+AC²)=√(9+25)=√34

 Так как грани АВВ1А1 и АСС1А1 равны, то А1С=А1В=СК=√34 

CM=√(CK²-MK*)=√(34-9)=5

Призма прямая, все ребра перпендикулярны основаниям, ⇒

СС1 перпендикулярен С1М, и ∆ МС1Спрямоугольный, его плоскость перпендикулярна плоскости А1КСВ.

Высота С1Н⊥МС ⇒перпендикулярна плоскости А1КСВ и является искомым расстоянием от точки С1 до плоскости А1ВС.

 C1H=2S(CMC1):MC

2S (CМС1)=СС1•MC1=3•4=12

C1H=12/5

---

Comments

Вариант решения.|| Рассмотрим пирамиду СС1А1К с основанием А1С1К.
Её высотой является СС1, т.к. перпендикулярно плоскости основания. Объём этой пирамиды
V=CC1•S(∆ А1C1K):3
S (A1C1K)=C1M•A1K:2
∆ А1C1K равнобедренный, МК=3, С1К=5, ∆ МКС1 - египетский с отношением катета МК к гипотенузе С1К=3:5, след. С1М=4
S=4•3=12
V=12•3:3=12

---

С другой стороны, эту пирамиду можно "повернуть" и тогда её основанием будет СКА1, а высотой С1Н
V=C1Н•S(∆ CKA1):3
S(∆ CKA1)=CM•MK
МК=5 ( из прямоугольного "египетского" ∆СС1М с катетами 3 и 4)
S(∆ CKA1)=5•3=15 –
C1H=3V:S=3•12:15=12/5 (ед. длины)