Наименьший периметр прямоугольный треугольник имеет при равных катетах и острых углах по 45°.
Пусть стороны равны а.
S = (1/2)a*a = (1/2)a².
Отсюда катеты равны: а = √(2S)
Гипотенуза с равна:с = а√2 = √(4S) = 2√S.
Тогда наименьший периметр равен:
Р = 2а + с = 2√(2S) + 2√S = 2(√(2S) + √S) = 2√S(√2 + 1).