Решить в рамках программы 8-го класса. Задача повышенной сложности, 8 класс.

Решение от LogiTech (znanija.com/profil/LogiTech-9984223)

Представим левую часть уравнения в виде

$x^2+ \frac{81x^2}{(x+9)^2} = \frac{x^2(x+9)^2+81x^2}{(x+9)^2}= \frac{x^4+18x^3+162x^2}{(x+9)^2} = \frac{x^4}{(x+9)^2}+ \frac{18x^2(x+9)}{(x+9)^2}=\\ \\ = \frac{x^4}{(x+9)^2} + \frac{18x^2}{x+9}$

Обозначим $\frac{x^2}{x+9}=t$ , получим $t^2+18t-40=0;\,\,\,\,\,t_1=-20;\,\,\,\,\,\, t_2=2$

Возвращаемся к обратной замене, получим
$\frac{x^2}{x+9}=-20 \\ x^2+20x+180=0$
Это квадратное уравнение действительных корней не имеет

$\frac{x^2}{x+9}=2\\ x^2-2x-18=0\\ x_{1,2}=1\pm \sqrt{19}$