Если все боковые ребра тетраэдра SABC равны, то в основании пирамиды равносторонний треугольник. Примем его сторону за а. Высота пирамиды SО, где О - точка пересечения медиан (они же высоты и биссектрисы основания).
Пусть АД - высота основания. Точка О делит её в отношении 2:1 от вершины А.
Высота АД = а√3/2, отрезок АО = (2/3)АД = а√3/3.
Из условия, что углы при вершине прямые, следует, что апофема SД равна половине стороны основания (углы ДSВ и ДВS равны по 45°) :
SД = а/2.
Высота пирамиды SO равна:
SO = √(SД² - (АД/3)²) = √((а²/4) - (3а²/36)) = а/√6.
Искомый угол α наклона бокового ребра к плоскости основания находим по его тангенсу:
tg α = SO/AO = (a/√6)/(а√3/3) = 1/√2 ≈ 0,707107.
Угол α = arc tg(1/√2) =
0,61548 радиан = 35,26439°.