Пусть r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, а радиусы трех вневписанных...

Question

Пусть r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, а
радиусы трех вневписанных окружностей (вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других).
Доказать, что

Comments

Это чисто счетная задача. Ну хорошо, пишу ответ, зачем Вам это надо, не знаю.

---

Интереснее предложить доказать теорему Фейербаха (вроде так называется) - что окружность 9 точек касается всех этих окружностей.

---

Я собирался предложить это позже))

---

Кстати, лучше разделить теорему Фейербаха на две или не делить? (про касание с вписанной и касание с вневписанной)

Answer 1

Полупериметр p = (a + b + c)/2;
p = (p - a) + (p - b) + (p - c);
поэтому
S/r = S/r1 + S/r2 + S/r3; собственно всё.

Конечно, надо знать, что S = (p - a)*r1; доказывается это точно также, как с вписанной окружностью - соединяются вершины с центром вневписанной окружности, и считаются площади получившихся треугольников с высотами r1. Сторона a - как раз та, которой касается вневписаная окружность между вершинами, а не на продолжении.