Помогите пожалуйста решить! Найти изображение по заданному оригиналу (Задание 1)

Разобьем дробь на слагаемые методом неопределённых коэффициентов.

$\displaystyle \frac{p+2}{(p+1)(p-2)(p^2+4)} = \frac{A}{p+1} + \frac{B}{p-2}+ \frac{Cp+D}{p^2+4} \\ \\ \\ \frac{p+2}{(p+1)(p-2)(p^2+4)} = \frac{A(p-2)(p^2+4)+B(p+1)(p^2+4)}{(p+1)(p-2)(p^2+4)} +\\ \\ \\ + \frac{(Cp+D)(p+1)(p-2)}{(p+1)(p-2)(p^2+4)} \\ \\ \\ p+2=A(p-2)(p^2+4)+B(p+1)(p^2+4)+(Cp+D)(p+1)(p-2)$

$p^{0}\,\, :\,\, 2=-8A+4B-2D\\ p^1\,\, :\,\, 3=-5A+10B-2C-2D\\ p^{-1}\,\, :\,\, 1=-15A\\ p^2\,\, :\,\,4=24B$

Решая эту систему, будем иметь

$A=- \frac{1}{15} \\ B= \frac{1}{6} \\ C=-\frac{1}{10} \\ D=-\frac{2}{5}$

То есть,

$\displaystyle \frac{p+2}{(p+1)(p-1)(p^2+4)} = -\frac{ \frac{1}{15} }{p+1} + \frac{ \frac{1}{6} }{p-1} - \frac{ \frac{1}{10} p+ \frac{2}{5} } {p^2+4}$

Перейдем теперь к оригиналу

$\displaystyle-\frac{ \frac{1}{15} }{p+1} + \frac{ \frac{1}{6} }{p-1} - \frac{ \frac{1}{10} p+ \frac{2}{5} } {p^2+4}=- \frac{1}{15} e^{-x}+ \frac{1}{6} e^x- \frac{1}{10} \cos2x- \frac{1}{5} \sin2x$

Ответ $\boxed{- \frac{1}{15} e^{-x}+ \frac{1}{6} e^x- \frac{1}{10} \cos2x- \frac{1}{5} \sin2x}$