Прямая, параллельная стороне АВ треуrольника ABC, делит его площадь ** части, которые...

Question

Прямая, параллельная стороне АВ треуrольника ABC, делит его площадь на части, которые относятся как 2:1, считая вершины C. В каком отношении эта прямая делит сторону BC

Answer 1

Обозначим точки пересечения прямой, параллельной АВ, 

с АС - К, с ВС -М. 

Примем площадь ∆ АВС=S , площадь ∆ СКМ=S₁, площадь четырёухугольника АКМВ=S₂

Тогда  S=S₁+S₂

По условию S₁=2 S₂, след. S₂=0,5S₁

Выразим площадь ∆ АВС через S₁

S=S₁+0,5S₁=1,5S₁

 КМ║АВ,⇒ треугольники АВС и КМС подобны ( соответственные углы при КМ и АВ равны, угол С - общий). 

Отношение их площадей 1,5S₁:S₁=1,5 или 3/2

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия их линейных размеров. 

k²=3/2

k=√(3/2)

CM:BM=√3:√2 – это ответ. 

Answer 2

Обозначим основание меньшего треугольника MN. Площади подобных треугольников относятся как квадраты отношений сторон. Так что если отношение площади ABC к площади CMN равно 3/2, то CB относится к CN как корень(3/2). Ну а отношение CN к NB будет 1/(корень(3/2) - 1) или корень(2)/(корень(3) - корень(2))