№1.
По условию:
S= 100 (км)
t встр. = 1 ( час)
Скорость сближения автомобилей :
V сбл. = 100 : 1 = 100 (км/ч)
I авто:
V₁= х (км/ч)
t₁ = 100/x (часов)
II авто:
V₂ = Vсбл. - V₁ = 100 - x (км/ч)
t₂ = 100/(100-x) часов
Разница во времени : t₁ - t₂ = 50 мин. = 50/60 ч. = 5/6 часа
Уравнение:
100/х - 100/(100-х) = 5/6
х≠0 ; 100-х≠0 ⇒ х ≠100
(100*(100 -х) - 100х) / (х(100-х)) = 5/6
(10000 - 100х - 100х) / (100х - х²) = 5/6
(10000 - 200х) /(100х - х²) = 5/6
5(2000-40х) / (100х - х²) = 5/6
(2000 - 40х) /(100х - х²) = 1/6
6(2000 - 40х) = 1(100х - х²)
12000 - 240х = 100х - х²
12000 - 240х - 100х + х² = 0
х² - 340х + 12000 = 0
D = (-340)² - 4*1*12000 = 115600-48000= 67600= 260²
D>0 два корня уравнения
V₁= х₁ = (340 - 260) /(2*1) = 80/2 = 40 (км/ч) скорость I авто
х₂ = (340 + 260) / (2*1) = 600/2= 300 не удовл. условию задачи(>V сбл.)
V₂= 100 - 40 = 60 (км/ч) скорость II авто
Ответ: V₁= 40 км/ч ; V₂ = 60 км/ч
№2.
Vт. = x (км/ч) скорость течения реки
Плот:
S₁ = 2 (км)
V₁ = Vт. = х (км/ч)
t₁ = 2/х (ч.)
Катер :
Vc = 15 км/ч
Путь против течения:
S₂ = 4 (км)
V₂ = 15 -x (км/ч)
t₂ = 4/(15-x) (ч.)
Путь по течению:
S₃ = 15 (км)
V₃ = 15 + x (км/ч)
t₃ = 15/(15+x) (ч.)
По условию t₁ = t₂ +t₃
Уравнение:
2/х = 4/(15-х) + 15/(15+х)
х≠0 ; 15-х≠0 ⇒ х≠15 ; 15+х≠0 ⇒ х≠ - 15
2/х = (4(15+х) +15(15-х)) / (15-х)(15+х)
2/х = (60 + 4х + 225 - 15х) / (15² - х²)
2/х = (-11х +285)/(15² - х²)
2(225 - х²)= х(-11х +285)
450 - 2х² = -11х² +285х
450-2х² +11х² -285х= 0
9х² - 285х +450=0 |:3
3х² - 95х + 150 = 0
D= (-95)² - 4*3* 150= 9025 -1800=7225=85²
D>0 два корня уравнения
х₁ = (95 - 85)/(2*3) = 10/6 = 5/3 = 1 ²/₃ (км/ч) V течения
х₂ = (95 + 85) / 6 = 180/6= 30 - не удовлетворяет условию (>Vc)
Проверим ( на всякий случай)
t₁ = 2 / 1²/₃ = 2 * ³/₅ = ⁶/₅ = 1.2 (ч) время на путь плота
t₂ = 4 / (15 - 1 ²/₃) = 4 / (13 ¹/₃) = 4 * ³/₄₀ = 0.3 (ч.) время на путь против течения реки
t₃ = 15/(15 + 1²/₃) = 15/ (16 ²/₃) = 15 * ³/₅₀ = 0.9 (ч.) время на путь по течению реки
t₂ + t₃ = 0.3 + 0.9 = 1.2 (ч)
t₁ = t₂ + t₃ = 1.2 (ч.) условие задачи соблюдается
Ответ: V т. = 1 ²/₃ (км/ч)