Выяснить, какое из чисел больше

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Так как указан уровень 5-9 класс.. попробую выполнить именно в этом уровне

Сравнить:

1)
$\dispaystyle log_23 ; log_32$

пусть $\dispaystyle log_23=a; log_32=b$

оценим эти числа

$\dispaystyle 1\ \textless \ a\ \textless \ 2\\2^1\ \textless \ 3\ \textless \ 2^2$

$\dispaystyle 0\ \textless \ b\ \textless \ 1\\3^0\ \textless \ 2\ \textless \ 3^1$

значит a>b и тогда
$\dispaystyle log_23\ \textgreater \ log_32$

2) далее не так подробно

$\dispaystyle log_57=a; log_75=b\\1\ \textless \ a\ \textless \ 2;0\ \textless \ b\ \textless \ 1\\a\ \textgreater \ b\\log_57\ \textgreater \ log_75$

3)
$\dispaystyle log_42=a; a=1/2\\log_{0.0625}0.25=log_{(1/4)^2}(1/2)^2=log_42=1/2\\log_42=log_{0.0625}0.25$

4)
$\dispaystyle log_32=a; log_58=b\\0\ \textless \ a\ \textless \ 1; 1\ \textless \ b\ \textless \ 2\\b\ \textgreater \ a\\log_32\ \textless \ log_58$

5)
$\dispaystyle log_460=a; log_330=b\\2\ \textless \ a\ \textless \ 3; 3\ \textless \ b\ \textless \ 4\\b\ \textgreater \ a\\log_460\ \textless \ log_330$

6)
$\dispaystyle log_426=a; log_617=b\\2\ \textless \ a\ \textless \ 3; 1\ \textless \ b\ \textless \ 2\\a\ \textgreater \ b\\log_426\ \textgreater \ log_617$

7)
$\dispaystyle log_910=a; log_{10}11=b\\a-1=log_910-1=log_910-log_99=log_9 (\frac{10}{9})=log_9(1+ \frac{1}{9})\\b-1=log_{10}11-1=log_{10}11-log_{10}10=log_{10}(1+ \frac{1}{10})$

сравним основания 9<10<br>а подлогарифмическое выражение 1+1/9>1+1/10

значит: $\dispaystyle log_910\ \textgreater \ log_{10}11$

8) а теперь самое интересное

сначала преобразуем

$\dispaystyle log_727= \frac{log_327}{log_37}= \frac{3}{log_37}$

теперь сравним
$\dispaystyle \frac{3}{log_37} ; log_37$

$\dispaystyle log_37=a\\1\ \textless \ a\ \textless \ 2$

теперь сузим интервал

сравним а и 1,5=3/2

$\dispaystyle log_37=a\\3^{3/2}= \sqrt[2]{3^3}\\3/2\ \textless \ a\ \textless \ 2$

еще раз сузим интервал
сравним а и 1,75=7/4

$\dispaystyle 3^{7/4}= \sqrt[4]{3^7}$

$\dispaystyle 7/4\ \textless \ a\ \textless \ 2$

а теперь посмотрим в каком интервале лежит 3/а

$\dispaystyle 1,5\ \textless \ 3/a\ \textless \ 1.75$

Значит

$\dispaystyle log_727\ \textless \ log_37$

hote_zn (72.1k баллов) 15 Май, 18