Решить уравнение

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Task/24968303
-------------------
Решить уравнение :
3 +√(35x² +12x+1) +√(35x² +27x+4) =√(35x² +33x+4) +√(35x² +48x+16) .
Решение: x =0 решение для данного  уравнения * 3+1 +2 = 2 + 4 *
оказывается другого решения нет .
-------
3 +√( (5x +1)(7x+1) )+√( (7x+4)(5x +1) )=√( (5x+4)(7x+1) )+√( (5x +4)(7x+4) ) ;
ОДЗ : x ∈ (- ∞; - 4 / 5 ] ∪ [ -1 / 7 ;∞) .
----------------------
a) x∈ [ -1 / 7 ;∞) .
3 +√(5x +1) *(√(7x+1)+√(7x+4) )=√(5x+4)*(√(7x+1)+√(7x+4) ) ⇔
(√(7x+4)+√(7x+1) )*(√(5x+4)-√(5x+1) ) = 3⇔
√(7x+4)+√(7x+1) =3 /(√(5x+4)-√(5x+1) ) ⇔ || ясно √(5x+4)-√(5x+1) ≠ 0 ||
√(7x+4) - √(7x+1) = √(5x+4) - √(5x+1) ⇔
√(7x+4) + √(5x+1) = √(7x+1) + √(5x+4)  ⇔
обе части уравнения положительны , возводим в квадрат ,получаем:
√(35x² +27x+4) = √(35x² +33x+4) , что верно только , если  x =0 .
б) аналогично поступаем , если  x ∈ ( - ∞ ; - 4 / 5 ] .
3 +√-(5x +1) *(√-(7x+1)+√-(7x+4) )=√-(5x+4)*(√-(7x+1)+√-(7x+4) ) и т.д.

ответ : x=0

* * * * * * * P.S. * * * * * * *
√a*b =√a*√b , если a и b неотрицательные→ a и b  ≥ 0
√a*b =√(-a)*√(-b) , если  a и b  ≤ 0
ax²+bx +c=a(x-x₁)(x-x₂), если квадратное уравнение имеет корней
(здесь можно и так)
35x² +12x+1 =(36x² +12x+1) - x² =(6x+1)² -x² =(5x+1)(7x+1) ;
35x² +27x+4 =(35x² +12x+1)+3(5x+1) =(5x+1)(7x+1)+3(5x+1)=(7x+4)(5x +1) ;
35x² +33x+4 =(35x² +12x+1)+3(7x+1) =(5x+1)(7x+1)+3(7x+1)=(5x +4)(7x+1) ;
35x² +48x+16 =(36x² +48x+16) -x² =(6x+4)² -x² =(5x+4)(7x+4) .

oganesbagoyan_zn (181k баллов) 15 Май, 18

AnonimusPro_zn · Answer 1 · 2018-05-15T07:45:57+0000

Раскладываем трехчлены на множители:
$35x^2+12x+1=0 \\D=144-140=4 \\x_1=\frac{-12+2}{70}=\frac{-10}{70}=\frac{-1}{7} \\x_2=\frac{-14}{70}=\frac{-1}{5} \\35(x+\frac{1}{7} )(x+ \frac{1}{5} )=(7x+1)(5x+1) \\ \\35x^2+48x+16=0 \\D=2304-2240=64 \\x_1=\frac{-48+8}{70}=\frac{-40}{70}=-\frac{4}{7} \\x_2=\frac{-56}{70}=-\frac{4}{5} \\35(x+\frac{4}{7})(x+\frac{4}{5})=(7x+4)(5x+4)$
$\\35x^2+27x+4=0 \\D=729-560=169 \\x_1=\frac{-27+13}{70}=\frac{-14}{70}=\frac{-1}{5} \\x_2=\frac{-27-13}{70}=\frac{-40}{70}=\frac{-4}{7} \\35(x+\frac{1}{5})(x+\frac{4}{7})=(5x+1)(7x+4) \\ \\35x^2+33x+4=0 \\D=1089-560=529 \\x_1=\frac{-33+23}{70}=\frac{-10}{70}=\frac{-1}{7} \\x_2=\frac{-56}{70}=-\frac{4}{5} \\35(x+\frac{1}{7})(x+\frac{4}{5})=(7x+1)(5x+4)$
получим:
$3+\sqrt{(7x+1)(5x+1)}+\sqrt{(5x+1)(7x+4)}=\\ =\sqrt{(7x+1)(5x+4)}+\sqrt{(7x+4)(5x+4)}$
рассматриваем 2 случая:
$1)\sqrt{ab}=\sqrt{a}*\sqrt{b} \\2)\sqrt{ab}=\sqrt{-a}*\sqrt{-b}$
1)
$3+\sqrt{7x+1}*\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+1}*\sqrt{7x+4}\\=\sqrt{7x+1}*\sqrt{5x+4}+\sqrt{7x+4}*\sqrt{5x+4} \\ \\3+\sqrt{5x+1}*(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4})=\sqrt{5x+4}*(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4}) \\3=\sqrt{5x+4}*(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4})-\sqrt{5x+1}*(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4}) \\3=(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4})*(\sqrt{5x+4}-\sqrt{5x+1}) \\(\sqrt{7x+1}+\sqrt{7x+4})*(\sqrt{5x+4}-\sqrt{5x+1})=3$
одз:
7x+1>=0
7x+4>=0
5x+4>=0
5x+1>=0

ясно, что $\sqrt{7x+1}-\sqrt{7x+4} \neq 0$ поэтому мы можем умножить уравнение на $(\sqrt{7x+1}-\sqrt{7x+4})$

$3*(\sqrt{5x+4}-\sqrt{5x+1})=3*(\sqrt{7x+4}-\sqrt{7x+1}) \\\sqrt{5x+4}-\sqrt{5x+1}=\sqrt{7x+4}-\sqrt{7x+1}$
возводим обе части в квадрат:
$5x+4-2\sqrt{(5x+4)(5x+1)}-5x-1= \\=7x+4-2\sqrt{(7x+4)(7x+1)}-7x-1 \\ \\-2\sqrt{(5x+4)(5x+1)}+3=-2\sqrt{(7x+4)(7x+1)}+3 \\\sqrt{(5x+4)(5x+1)}=\sqrt{(7x+4)(7x+1)}$
еще раз возводим в квадрат:
(5x+4)(5x+1)=(7x+4)(7x+1)
но:
(5x+4)(5x+1)>=0 и (7x+4)(7x+1)>=0
$25x^2+5x+20x+4=49x^2+7x+28x+4 \\24x^2+10x=0 \\x(24x+10)=0 \\x_1=0 \\24x+10=0 \\x_2=-\frac{10}{24}=-\frac{5}{12}$
проверяем:
(5*(-5)/12+4)(5*(-5/12)+1)>=0
-25/12<1, значит 2 скобка меньше 0. корень x=-5/12 не подходит.
проверяем 0:
4*1>=0
4*1>=0
1>=0
4>=0
4>=0
1>=0 - верно, значит x=0 - корень уравнения
теперь рассмотрим 2 случай:
2)
$3+\sqrt{-(7x+1)}*\sqrt{-(5x+1)}+\sqrt{-(5x+1)}*\sqrt{-(7x+4)}\\=\sqrt{-(7x+1)}*\sqrt{-(5x+4)}+\sqrt{-(7x+4)}*\sqrt{-(5x+4)}\\ \\3+\sqrt{-(5x+1)}*(\sqrt{-(7x+1)}+\sqrt{-(7x+4)})= \\=\sqrt{-(5x+4)}*(\sqrt{-(7x+1)}+\sqrt{-(7x+4)}) \\ \\\sqrt{-(5x+4)}*(\sqrt{-(7x+1)}+\sqrt{-(7x+4)})- \\\sqrt{-(5x+1)}*(\sqrt{-(7x+1)}+\sqrt{-(7x+4)})=3 \\ \\(\sqrt{-(5x+4)}-\sqrt{-(5x+1)})*(\sqrt{-(7x+4)}+\sqrt{-(7x+1)})=3$
одз:
-(7x+1)<=0 -(7x+4)<=0 -(5x+4)<=0 -(5x+1)<=0 или
7x+1>=0
7x+4>=0
5x+4>=0
5x+1>=0
одз 1 и 2 случая совпали
ясно, что $\sqrt{-(7x+4)}-\sqrt{-(7x+1)} \neq 0$
тогда умножаем уравнение на $(\sqrt{-(7x+4)}-\sqrt{-(7x+1)})$
$(\sqrt{-(5x+4)}-\sqrt{-(5x+1)})*(-7x-4+7x+1)= \\=-3*(\sqrt{-(7x+1)}-\sqrt{-(7x+4)}) \\ \\-3*(\sqrt{-(5x+4)}-\sqrt{-(5x+1)})=-3*(\sqrt{-(7x+4)}-\sqrt{-(7x+1)}) \\\sqrt{-(5x+4)}-\sqrt{-(5x+1)}=\sqrt{-(7x+4)}-\sqrt{-(7x+1)}$
выносим <img src="https://tex.z-dn.net/?f=%0A%5Csqrt%7B-1%7D" id="TexFormula17" title=" \sqrt{-1}" alt=" \sqrt{-1}" align="absmiddle" cl