Определенные интегралы

Question 1

Question 2

...помощи проСящий...

Question 3

1)Несобственный интеграл 2-го рода (бесконечный разрыв в точке x=-2)
$\int\limits^0_{-2} \frac{dx}{x^2-4}\\\frac{1}{x^2-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}=\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4(x+2)}\\1=A(x+2)+B(x-2)\\x^0|1=2A-2B\\x|0=A+B=\ \textgreater \ A=-B\\1=-2B-2B\\1=-4B\\B=-\frac{1}{4}\ ;A=\frac{1}{4}\\$ $\int\limits^0_{-2} \frac{dx}{x^2-4}= \lim_{a \to -2+0}\int\limits^0_{-2}(\frac{1}{4(x-2)}-\frac{1}{4(x+2)}dx=\\=\lim_{a \to -2+0}(\frac{1}{4}\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{(x-2)}-\frac{1}{4}\int\limits^0_{-2}\frac{dx}{(x+2)})=\\\frac{1}{4}\lim_{a \to -2+0}(ln|x-2|-ln|x+2|)|^0_{-2}=\\=\frac{1}{4}\lim_{a \to -2+0}(ln|\frac{x-2}{x+2}|)|^0_{-2}=\frac{1}{4}\lim_{a \to -2+0}(ln|-1|-ln|\frac{a-2}{a+2}|)=\\=ln|-1|-ln|-\infty|=ln|\infty|=\infty$
Интеграл расходится

2)
$\int\limits^4_1 {\frac{dx}{\sqrt x+3}}\\x=t^2;\sqrt x=t;dx=2tdt\\ \int\limits^4_1 {\frac{dx}{\sqrt x+3}}= \int\limits^4_1 {\frac{2tdt}{t+3}}=2\int\limits^4_1 {\frac{t+3-3 dt}{t+3}}=2\int\limits^4_1(1-\frac{3}{t+3})dt=(2t-6ln|t+3|)|^4_1=\\=(2\sqrt x-6ln|\sqrt x+3|)|^4_1=4-6ln|5|-2+6ln|4|=2+6ln|0,8|\approx\\\approx0,66$

3)
$\int\limits^1_0 {x^2*e^{-2x}dx}\\u=x^2=\ \textgreater \ du=2xdx\\dv=e^{-2x}dx=\ \textgreater \ v=-\frac{1}{2}e^{-2x}\\ \int\limits^1_0 {x^2*e^{-2x}dx}=-\frac{1}{2}x^2e^{-2x}|^1_0+\int\limits^1_0xe^{-2x}dx\\\int\limits^1_0xe^{-2x}dx\\u=x=\ \textgreater \ du=dx\\dv=e^{-2x}dx=\ \textgreater \ v=-\frac{1}{2}e^{-2x}\\\int\limits^1_0xe^{-2x}dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}|^1_0+\frac{1}{2}\int\limits^1_0e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}xe^{-2x}|^1_0-\frac{1}{4}e^{-2x}|^1_0$
$\int\limits^1_0 {x^2*e^{-2x}dx}=-\frac{1}{2}x^2e^{-2x}|^1_0-\frac{1}{2}xe^{-2x}|^1_0-\frac{1}{4}e^{-2x}|^1_0=\\=(-\frac{1}{2}x^2e^{-2x}-\frac{1}{2}xe^{-2x}-\frac{1}{4}e^{-2x})|^1_0=\\=-\frac{1}{2}e^{-2}-\frac{1}{2}e^{-2}-\frac{1}{4}e^{-2}+\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}e^{-2}+\frac{1}{4}\approx0,08$