В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD...

Question

228 просмотров

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно.

Ребят, очень нужна ваша помощь! Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17.

а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

б) Найдите отношение BC к AD.

Геометрия Chura8536_zn (12 баллов) 15 Май, 18 | 228 просмотров

Дан 1 ответ

siestarjoki_zn · Answer 1 · 2018-05-15T07:49:30+0000

A)
S ABLN=S NLCD <=> S ABN+S NBL=S NCD+S NLC
Медиана (NL) разбивает треугольник (NBC) на два равновеликих треугольника.
S NBL=S NLC => S ABN=S NCD => AN*BH=ND*CH1
AN=ND => BH=CH1

BH⊥AD, CH2⊥AD => BH1||CH1

Если в четырехугольнике (BHH1C) две противоположные стороны (BH, CH1) равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Противоположные стороны параллелограмма параллельны.
BC||AD

б)
ABCD - трапеция (BC||AD).
Средняя линия трапеции (KM) параллельна основаниям (AD, BC) и равна их полусумме.
KBCM, AKMD - трапеции.
KM= (BC+AD)/2

Средняя линия делит высоту трапеции (BH) пополам.
BE=EH

S KBCM= (BC+KM)*BE/2
S AKMD= (AD+KM)*EH/2

11/17= (BC+KM)/(AD+KM) <=> 11/17= (3BC+AD)/(3AD+BC) <=>
<=> 33AD+11BC = 51BC+17AD <=> 16AD=40BC <=> BC/AD=0,4