Помогите решить уравнение

Решаем уравнение следующим образом. Разложим левую часть по формуле разности квадратов:
$( cos^{2} x - sin^{2} x)( cos^{2} x + sin^{2} x) = sin2x \\ cos2x \cdot 1 = sin 2x \\ cos2x = sin 2x$
После применения формулы я использовал основное тригонометрическое тождество(вторая скобка), а в первой скобке стоит ни что иное, как формула косинуса двойного угла(вспомните формулу).

Теперь приходим к однородному уравнению первой степени. Такие уравнения решаются всегда делением либо на синус, либо на косинус. Поделим здесь обе части на $cos 2x$ :
$tg2x = 1 \\ 2x = \frac{ \pi }{4} + \pi n \\ x = \frac{ \pi }{8} + \frac{ \pi n}{2}$

Это и есть решение уравнения.

Почему это вообще можно было сделать? Делить имеем право только на те выражения, которые нигде в своей области определения не обращаются в 0. Почему же $cos 2x \neq 0$ ? Потому что тогда бы из уравнения и
$sin 2x = 0$ , а одновременное равенство нулю и синуса, и косинуса одного аргумента невозможно в силу основного тригонометрического тождества
$sin^{2} 2x + cos^{2} 2x = 1$