Так. Сначала теорию. Любой многочлен, имеющий корни, можно разложить на произведение вида (x-x1)(x-x2)...
где x1, x2 - корни.
Тогда если многочлен P(x) делится на разность (x-a), то P(a) = 0.
Если не делится, то
P(x) = (x-a)T(x) + R(x)
P(a) = (a-a)T(x) + R(x) = R(x)
Тогда остаток от деления многочлен P(x) на (x-a) равен P(a). (этого добились простой алгеброй)
Решение:
Q(x) = (x-2)(x+2)
остаток деления должен быть степени ниже, чем Q(x).
Пусть R = kx + b.
Тогда остатки от деления P на x-2, на x+2 равны остаткам от деления P на Q, при x = 2, -2 соответственно.
Док-во:
Рассмотрим остаток деления P на Q:
P(x) = T(x) * Q(x) + R(x)
при x = 2:
P(2) = T(2) * 0 + R(2) -> R(2)=k*2+b = P(2) = остаток от деления P на (x-2)
P(-2) = T(-2) * 0 + R(-2) -> R(-2)=k*(-2)+b = P(-2) = остаток от деления P на (x+2)
Следовательно остатки от деления P на (x-2), (x+2) принадлежат R(x)
Найдем R(x):
Тогда P(2) = 8, R(2) = 8
P(-2) = -76
k*2+b=8
k*(-2) +b=-76
k=(8-b)/2
(8-b)/2 * (-2) + b= -76
b-8+b=-76 => 2b=-68 => b= -34 => k = 21
R(x) = 21x-34