{ |x-a| + |y-a| + |a+1-x| + |a+1-y| = 2
{ y + 2|x-5| = 6
1) Сначала решим 1 уравнение. Здесь будет очень много вариантов.
Сделаем замену x-a = v; y-a = w
|v| + |w| + |1-v| + |1-w| = 2
Если v < 0 и w < 0, то |v| = -v, |w| = -w, |1-v| = 1-v, |1-w| = 1-w
-v - w + 1 - v + 1 - w = 2 - 2v - 2w = 2
-2v - 2w = 0
v = -w - этого не может быть, если v и w оба отрицательны.
Решений нет.
Если v < 0, w ∈ [0; 1), то |v| = -v, |w| = w, |1-v| = 1-v, |1-w| = 1-w
-v + w + 1 - v + 1 - w = 2
-2v + 2 = 2
v = 0 - не подходит, должно быть v < 0
Решений нет.
Если v < 0, w >= 1, то |v| = -v, |w| = w, |1-v| = 1-v, |1-w| = w-1
-v + w + 1 - v + w - 1 = 2w - 2v = 2
w = v + 1
Возвращаемся к x и y
y - a = x - a + 1
2x - 4 = x + 1
x = 5; y = 2*5 - 4 = 6
Получаем: x = 5; v = x - a < 0; 5 - a < 0; a > 5
y = 6; w = y - a >= 1; 6 - a >= 1; a <= 5<br>Неравенства противоречат друг другу, поэтому решений нет.
Если v ∈ [0; 1); w < 0, то |v| = v, |w| = -w, |1-v| = 1-v, |1-w| = 1-w
v - w + 1-v + 1-w = 2
-2w + 2 = 2
w = 0 - не подходит, должно быть w < 0
Если v ∈ [0; 1); w ∈ [0; 1), то |v| = v; |w| = w; |1-v| = 1-v; |1-w| = 1-w
v + w + 1 - v + 1 - w = 2
2 = 2
Это верно при ЛЮБЫХ v, w, x, y, и a, а нам нужно единственное решение.
Поэтому этот вариант нам не подходит.
Если v ∈ [0; 1), w >= 1, то |v| = v; |w| = w; |1-v| = 1-v; |1-w| = w-1
v + w + 1 - v + w - 1 = 2
2w = 2
w = 1 - подходит; y-a = 1, y = a+1 = 2x+4; x = (a-3)/2 ∈ [0; 1);
a-3 ∈ [0; 2); a ∈ [3; 5) - ЭТО РЕШЕНИЕ
При a ∈ [3; 5) будет 1 решение x = (a-3)/2; y = a+1
Если v >= 1, w < 0, то |v| = v; |w| = -w; |1-v| = v-1; |1-w| = 1-w
v - w + v - 1 + 1 - w = 2
2v - 2w = 2
v - w = 1
Этого не может быть, если w < 0, а v >= 1
Решений нет
Если v >= 1, w ∈ [0; 1), то |v| = v; |w| = w; |1-v| = v-1; |1-w| = 1-w
v + w + v - 1 + 1 - w = 2
2v = 2
v = 1 - подходит; x-a = 1; x = a+1; y = 2x-4 = 2a+2-4 = 2a-2
w = y-a ∈ [0; 1]; 2a-2-a = a-2 ∈ [0; 1); a ∈ [2; 3)
При a ∈ [2; 3) будет 1 решение: x = a+1; y = 2a-2
Если v >= 1, w >= 1, то |v| = v; |w| = w; |1-v| = v-1; |1-w| = w-1
v + w + v - 1 + w - 1 = 2
2v + 2w = 4
v + w = 2 - этого не может быть, если v > 1 и w > 1
Решений нет.
С 1 уравнением всё. Рассмотрели все варианты, нашли 2 решения.
Теперь из 2 уравнения выразим y через x.
1) Если x < 5, то |x-5| = 5-x
y + 2(5 - x) = y - 2x + 10 = 6
y = 2x - 4 < 2*5 - 4 = 6
Если x < 5, то y < 6
2) Если x > 5, то |x-5| = x-5
y + 2(x - 5) = y + 2x - 10 = 6
y = -2x + 16 < -2*5 + 16 = 6
Если x > 5, то y < 6
3) Если x = 5, то |x-5| = 0
y + 2*0 = 6
y = 6
Второе уравнение имеет единственное решение (5; 6), подставляем в 1.
|5-a| + |6-a| + |a+1-5| + |a+1-6| = 2
|5-a| + |6-a| + |a-4| + |a-5| = 2
По свойствам модулей |5-a| = |a-5|
2*|5-a| + |6-a| + |a-4| = 2
При a < 4 будет |5-a| = 5-a, |6-a| = 6-a, |a-4| = 4-a
2(5 - a) + 6 - a + 4 - a = 10 - 2a + 10 - 2a = 20 - 4a = 2
4a = 18, a = 18/4 = 9/2 > 4 - не подходит.
При a ∈ [4; 5) будет |5-a| = 5-a, |6-a| = 6-a, |a-4| = a-4
2(5 - a) + 6 - a + a - 4 = 10 - 2a + 2 = 12 - 2a = 2
2a = 10; a = 5 ∉ (4; 5) - не подходит
При a ∈ [5; 6) будет |5-a| = a-5; |6-a| = 6-a; |a-4| = a-4
2(a - 5) + 6 - a + a - 4 = 2a - 10 + 2 = 2a - 8 = 2
2a = 10; a = 5 ∈ [5; 6) - ЭТО РЕШЕНИЕ
При a >= 6 будет |5-a| = a-5, |6-a| = a-6, |a-4| = a-4
2(a - 5) + a - 6 + a - 4 = 2a - 10 + 2a - 10 = 4a - 20 = 2
4a = 22; a = 22/4 = 11/2 < 6 - не подходит.
При а = 5 будет 1 решение x = 5, y = 6.
Заметим, что 1 уравнение имеет решения, которые подходят только к 1 варианту решений 2 уравнения, то есть x < 5; y < 6.
При a ∈ [3; 5) будет 1 решение x = (a-3)/2 ∈ [0; 1); y = a+1 ∈ [4; 6)
При a ∈ [2; 3) будет 1 решение: x = a+1 ∈ [3; 4); y = 2a-2 ∈ [2; 4)
При а = 5 будет 1 решение x = 5, y = 6.
Ответ: При a ∈ [2; 5] система имеет 1 решение.