1) arcsin(4/5) = a, это такой угол, что sin a = 4/5, тогда cos a = 3/5.
2) arctg(1/3) = b, это такой угол, что tg b = 1/3
Есть известная формула: 1/cos^2 b = 1 + tg^2 b = 1 + 1/9 = 10/9
cos^2 b = 9/10; cos b = 3/√10
sin^2 b = 1 - cos^2 b = 1 - 9/10 = 1/10; sin b = 1/√10
sin(2b) = 2sin b*cos b = 2*1/√10*3/√10 = 6/10 = 3/5
cos(2b) = 2cos^2 b - 1 = 2*9/10 - 1 = 18/10 - 1 = 8/10 = 4/5
Получается:
sin a = cos(2b) = 4/5; то есть sin a = cos(pi/2 - a) = cos(2b)
Значит, pi/2 - a = 2b, или a + 2b = arcsin(4/5) + 2arctg(1/3) = pi/2
Что и требовалось доказать.