Log1/3_log0,2_log32_(x+1)/(x+7)<0

$log_{ \frac{1}{3} }log_{0,2}log_{32} \frac{x+1}{x+7}\ \textless \ 0$

1/3 < 1, поэтому меняем знак:

$log_{0,2}log_{32} \frac{x+1}{x+7} \ \textgreater \ ( \frac{1}{3} )^0 = 1$

0,2 < 1, поэтому меняем знак:

$log_{32} \frac{x+1}{x+7} \ \textless \ (0,2 )^1 = 0,2$

32 > 1 поэтому знак остается:

$\frac{x+1}{x+7} \ \textless \ 32^{0,2} = 2\\ \frac{x+1}{x+7} -2 \ \textless \ 0\\ \frac{x+1}{x+7} - \frac{2x + 14}{x+7} \ \textless \ 0\\ \frac{-x-13}{x+7} \ \textless \ 0\\$

___-___(-13)____+_____(-7)___-___

x∈(-∞; -13) U (-7; +∞)

ОДЗ:
$\frac{x+1}{x+7} \ \textgreater \ 1\\$
$log_{0,2}log_{32} \frac{x+1}{x+7} \ \textgreater \ 0\\ \frac{-31x-223}{x+7} \ \textless \ 0\\$

__+___(-7)_________-___

___-_(-7 6/31)___+___(-7)___-___
x∈(-∞; -7 6/7)

Ответ: x∈(-∞; -13)