Y''-y=2x-1линейное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка со специальной правой части
Найти нужно Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.
Найдем общее решение однородного уравнения.
$y''-y=0$
Используем метод Эйлера.
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда получаем характеристическое уравнение
$k^2-1=0\\ k=\pm1$
Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
$y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{-x}+C_2e^x$

Положим $f(x)=2x-1$ , многочлен степени х равен 1. Следовательно, частное решение будем находить в виде

Уч.н. $=Ax+B$
Найдем производную второго порядка
$y''=0$
Подставим в исходное уравнение, получаем:
$-Ax-B=2x-1$
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
$\displaystyle \left \{ {{-A=2} \atop {-B=-1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=-2} \atop {B=1}} \right.$
Уч.н. = $-2x+1$

Тогда решение исходного уравнения:

$\boxed{Y_{O.H.}=C_1e^{-x}+C_2e^x-2x+1}$