1.В среднем по 15% договоров страховая кампания выплачивает страховую сумму. Заключено 10...

1.В среднем по 15% договоров страховая кампания выплачивает страховую сумму. Заключено 10 договоров.
Найти: 1.Вероятность того что с наступлением страхового случая будет выплачена страховая сумма по 3 договорам. Наивероятнейшее число договоров, по которым будет выплачена страховая сумма.
2.Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела, и вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины.
3.Вероятность того, что перфокарта набита оператором неверно, равна 0,1. Найти вероятность того, что из 200 перфокарт правильно набитых: 150 перфокарт и будет не меньше 180.

1. Испытание по схеме Бернулли.
p=0,15 q=1-p=0,85 n=10 m=3
$P_{n} (m)=C _{n} ^{m} p^{m} q^{n-m}$
$P_{10} (3)=C_{10}^{3}(0,15)^{3}(0,85)^{7}$
$P_{10} (3)= \frac{10!}{3!7!} ( \frac{3}{20} )^{3} ( \frac{17}{20} )^{7} = \frac{8*9*10}{1*2*3} \frac{27}{8000} \frac{410338673}{1280000000} = 0,13$
Наивероятнейшее число договоров определяется по формуле
$np-q \leq m_{0} \leq np+p$
$10*0,15-0,85 \leq m_{0} \leq 10*0,15+0,15 \\ 0,65 \leq m_{0} \leq 1,65$
$m_{0} =1$

2. $\begin{array}{cccc}0&1&2&3\\0,512&0,384&0,096&0,008 \end{array}$
$MX=0*0,512+1*0,384+2*0,096+3*0,008=0,6$ или $MX=np=3*0,2=0,6$
$MX^{2}=0^{2}*0,512+1^{2}*0,384+2^{2}*0,096+3^{2}*0,008=0,84$
$DX=MX^{2}-(MX)^{2}=0,84-(0,6)^{2}=0,84-0,36=0,48$ или $DX=npq=3*0,2*0,8=0,48$
σ=√DX=√0,48≈0,7

3. p=0,9 q=0,1 n=200
a) Локальная формула Муавра-Лапласа
$P_{200} (150)$
$\sqrt{npq} = \sqrt{18} =4,24$
$x= \frac{m-np}{ \sqrt{npq} } = \frac{150-180}{ \sqrt{18} } =-7,08$
$P_{200} (150)= \frac{1}{ \sqrt{npq} } * \psi(x)$ , где
$\psi(x)= \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } e^{- \frac{x^{2} }{2} }$ - функция Гаусса
$\psi(-7,08) =0$ $P_{200}(150)=0$