Зависимость цены р от выпуска продукции х имеет вид: р = 100- 0,9x. Функция издержек...

Question

Зависимость цены р от выпуска продукции х имеет вид: р = 100- 0,9x. Функция издержек имеет вид: f(x)=0,032x3. Прибыль от реализации продукции определяется как разность между выручкой рх и издержками f(x). Найти значение выпуска, при котором прибыль будет наибольшей, если: а) 5 ≤ х ≤10; б) 10 ≤ х ≤ 25.

Answer 1

Прибыль П = p*x - f(x) = x(100-0,9x)-0,032*x^3 = -0,032*x^3-0,9x^2+100x
Найдем значения на концах отрезков:
П(5) = -0,032*125 - 0,9*25 + 100*5 = -4 - 22,5 + 500 = 473,5
П(10) = -0,032*1000 - 0,9*100 + 100*10 = -32 - 90 + 1000 = 878
П(25) = -0,032*15625 - 0,9*625 + 100*25 = -500 - 562,5 + 2500 = 1437,5
Найдем производную функции и приравняем ее к 0
П ' = -0,032*3x^2 - 0,9*2x + 100 = -0,096x^2 - 1,8x + 100 = 0
D/4 = (-0,9)^2 - (-0,096)*100 = 0,81 + 9,6 = 10,41 ~ (3,23)^2
x1 = (0,9 - 3,23)/(-0,096) ~ 24,27
П(24,27) ~ 1439,4
x2 = (0,9 + 3,23)/(-0,096) = -4,13/0,096 < 0 - не подходит
Ответ: а) П(10) = 878; б) П(~24,27) ~ 1439,4