Исследование функции и построение графика. Нужно решение по плану исследования (область...

0 голосов
48 просмотров

Исследование функции и построение графика. Нужно решение по плану исследования (область исследования; чет. Нечет.;точки пересечения, промежутки и т. д.)


image

Математика (20 баллов) | 48 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Исследовать функцию f (x) = (х - 3)/(х + 3) и построить ее график.

Решение:

1. Область определения функции - вся числовая ось кроме х = -3.

2. Функция f (x) = (х - 3)/(х + 3) непрерывна на всей области определения кроме точки х = -3, в которой точка разрыва функции.

3. Четность, нечетность, периодичность:

График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной — относительно начала координат О.

 f(–x) = (-х - 3)/(-х + 3) = (х + 3)/(х - 3) ≠ f(x) и ≠ –f(x) ,

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.


4. Точки пересечения с осями координат: f (x) = (х - 3)/(х + 3)

Ox: y=0, х - 3 = 0,  ⇒ x = 3, x=3/2. Значит (0;3)  - точка пересечения с осью Ox.

 Oy: x = 0 ⇒ y = -3/3 = -1. Значит (0;-1) - точка пересечения с осью Oy.


5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

y'=6/((x+3)²) ⇒ ≠ 0 ⇒ Критических точек нет. но есть точка разрыва при х = -3. Проверим знак производной левее и правее точки разрыва.

х = -4, y'=6/((-4+3)²) = 6, 

х = -2, y'=6/((-2+3)²) = 6.

Производная только положительна, поэтому функция на всей области определения возрастает (то есть кроме х = -3). 


6. Вычисление второй производной: у'' = -12/((x+3)³), 

y'' ≠ 0.

 7. Промежутки выпуклости и точки перегиба:

Так как вторая производная не может быть равна нулю, то у функции нет перегиба, но есть точка разрыва при х = -3. 

Проверим знак второй производной левее и правее точки разрыва.

х = -4, y''=6/((-4+3)³) = -6, 

х = -2, y''=6/((-2+3)²) = 6.

При -∞ < x < -3 график функции выпуклый вниз. 

При -3 < x < ∞ график функции выпуклый вверх.

8. Искомый график функции в приложении.

(309k баллов)