Исследовать функцию f (x) = (х - 3)/(х + 3) и построить ее график.
Решение:
1. Область определения функции - вся числовая ось кроме х = -3.
2. Функция f (x) = (х - 3)/(х + 3) непрерывна на всей области определения кроме точки х = -3, в которой точка разрыва функции.
3. Четность, нечетность, периодичность:
График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной — относительно начала координат О.
f(–x) = (-х - 3)/(-х + 3) = (х + 3)/(х - 3) ≠ f(x) и ≠ –f(x) ,
Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат: f (x) = (х - 3)/(х + 3)
Ox: y=0, х - 3 = 0, ⇒ x = 3, x=3/2. Значит (0;3) - точка пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0 ⇒ y = -3/3 = -1. Значит (0;-1) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
y'=6/((x+3)²) ⇒ ≠ 0 ⇒ Критических точек нет. но есть точка разрыва при х = -3. Проверим знак производной левее и правее точки разрыва.
х = -4, y'=6/((-4+3)²) = 6,
х = -2, y'=6/((-2+3)²) = 6.
Производная только положительна, поэтому функция на всей области определения возрастает (то есть кроме х = -3).
6. Вычисление второй производной: у'' = -12/((x+3)³),
y'' ≠ 0.
7. Промежутки выпуклости и точки перегиба:
Так как вторая производная не может быть равна нулю, то у функции нет перегиба, но есть точка разрыва при х = -3.
Проверим знак второй производной левее и правее точки разрыва.
х = -4, y''=6/((-4+3)³) = -6,
х = -2, y''=6/((-2+3)²) = 6.
При -∞ < x < -3 график функции выпуклый вниз.
При -3 < x < ∞ график функции выпуклый вверх.
8. Искомый график функции в приложении.