Помогите, пожалуйста с решением 1. Требование ** функцию f для того, чтобы задача Коши...

Question

Помогите, пожалуйста с решением
1. Требование на функцию f для того, чтобы задача Коши уравнения y'=f(x,y) имела единственное решение
2. Пусть h(x) — решение уравнения y'=x-y2 с начальными условиями x=1, y=2. Возастает или убывает h в точке x=1
3. решение уравнения y'=-2y проходящее через точку (0; 5) есть

Answer 1

1) Функция f(x,y) должна удовлетворять двум требованиям:

1. Быть непрерывной в области, содержащей точку P0(x0,y0). Тогда уравнение y'=f(x,y) будет иметь решение y=f(x) такое, что y0=f(x0).

2. Иметь в этой же области непрерывную частную производную df/dy. Тогда решение y0=f(x0) будет единственным.

2) Так как h(x) является решением уравнения, то h'=x-h² и h(1)=2.
Используя начальные условия, получим:
h'(1)= 1-2²=-3. Так как производная h'(x) в точке x=1 отрицательна, то функция h(x) в этой точке убывает.

3) Запишем уравнение в виде dy/dx=-2y. Оно приводится к виду dy/y=-2*dx. Интегрируя обе части, получаем ∫dy/y=-2*∫dx, откуда ln/y/=-2*x+C. Введя новую постоянную C1, такую, что C= lnC1, запишем решение в виде ln/y/=-2*x+ln/C1/. Отсюда ln/y/C1/=-2*x, y/C1=e^(-2*x), y=C1*e^(-2*x). Используя теперь условие y(0)=5, приходим к уравнению 5=C1*1, откуда C1=5. Значит. искомым решением является y=5*e^(-2*x).