Найдите все числа N (N<1000000), чтобы N был чётным, кубический корень из N был...

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Три условия

$N = 2p\\ N = q^3\\ N = 2r^2$

Итак, первое условие выполнится, если выполнится третье, поэтому сосредоточимся на последних двух

$N = q^3 = 2r^2$

Как видим, q обязано делиться на 2. Поэтому

$q = 2q_1\\ 8q_1^3 = 2r^2\\ 4q_1^3 = r^2$

Теперь и r должно делиться на 2, чтобы r^2 делилось на 4

$r = 2r_1\\ q_1^3 = r_1^2$

Ну все, теперь задача найти все такие кубы $q_1^3$ , чтобы они еще были и квадратами. Тогда исходное число найдем в виде

$N = q^3 = 8q_1^3$

Заметим, что область поиска ограничена, ибо
$N\ \textless \ 1000000\\ 8q_1^3\ \textless \ 1000000\\ q_1^3\ \textless \ 125000 = (50)^3 = (5\sqrt{2})^6$

Куб числа q можно разложить на простые множители:
$q_1^3 = \pi_1^{3m_1}\pi_2^{3m_2}...\pi_z^{3m_z}$

Чтобы это число было еще и квадратом, необходимо чтобы все степени простых чисел были еще и четными. То есть годятся 0, 6, 12 и так далее степени простых чисел. Одним словом, q_1^3 должно быть 6-й степенью некого натурального числа x, причем это число должно быть меньше 5√2≈7.07. Таких x существует ровно 7, и это ответ. Но ниже мы приведем все исходные числа

$x = 1,2,3,4,5,6,7\\ N = 8q_1^3 = 8x^6 = 8, 512, 5832, 32768,125000,373248,941192$

Еще раз подчеркнем, что общая формула для чисел, удовлетворяющих условиям задачи

$N = 8x^6,\qquad x\in\mathbb{N}$

Selena228_zn (4.1k баллов) 15 Май, 18