Очевидно, что множители левой части должны быть разных знаков.
Если взять модуль от данного уравнения, то получим
|sin(п*Vx)|*|sin(п*V(x+2) )| = 1.
Очевидно, ни один из множителей левой части не равен нулю (в противном случае их произведение было бы равно нулю, а это не так по условию).
0<|sin(п*Vx)|<=1;<br>0<|sin(п*V(x+2) )| <=1.<br>Пусть A = sin(п*Vx);
B = sin(п*V(x+2) ).
Если оба модуля меньше единицы, то и произведение их меньше единицы, т.е.
0<|A|<1;<br>0<|B|<1;<br>|A|*|B|<|B|<1.<br>И этот вариант не подходит, поскольку |A|*|B| = 1.
Если хотя бы один из модулей меньше единицы, а другой равен единице, т.е. например.
0<|A|<1;<br>|B|=1, тогда домножим последнее равенство на |A|, получим
|B|*|A| = |A|<1. И этот вариант не годится.<br>Остается только один вариант
|A| = 1
и
|B| = 1.
Учтем, что А и В имеют разные знаки, тогда получаем, что
1) A = 1 и B = -1;
или
2) A=-1 и B = 1.
Решаем первую систему
sin(п*Vx) = 1;
и sin(п*V(x+2) ) = -1;
п*Vx = (п/2) + 2пn, где n - целое.
и
п*V(x+2) = (3п/2) + 2пm, где m - целое.
Vx = (1/2) + 2n,
V(x+2) = (3/2) + 2m,
x = ((1/2)+2n)^2, и (1/2)+2n>=0;
x+2 = ((3/2) + 2m))^2, и (3/2)+2m>=0;
n>=-1/4, но n - целое, поэтому n>=0;
m>= (-3/4), но m - целое, поэтому m>=0;
(x+2) - x = ((3/2) + 2m)^2 - ((1/2)+2n)^2;
2 = ((3/2)+2m - (1/2) - 2n )*( (3/2) + 2m + (1/2) + 2n );
2 = (1 + 2m - 2n)*( 2 + 2m + 2n).
Т.к. m и n - целые, то оба множителя правой части тоже целые. Двойку можно разложить на целые множители следующими способами.
2 = 1*2 = 2*1 = (-1)*(-2) = (-2)*(-1)
4 варианта.
1.1)
1+2m - 2n = 1;
и
2+ 2m + 2n = 2;
складываем
3 + 4m = 3;
m = 0;
тогда и n = 0.
Тогда x = ((1/2)+0)^2 = 1/4,
а
x+2 = ((3/2) + 0)^2 = 9/4.
x = (9/4) - 2 = (9/4) - (8/4) = 1/4.
1.2)
1+2m - 2n =2;
и
2+2m+2n = 1;
складываем
3+4m = 3;
m = 0; тогда n = (1-2)/2 = -1/2, но n должно быть целым, поэтому
в 1.2) решений нет.
1.3)
1+2m - 2n = -1; и
2+2m+2n = -2;
складываем
3+4m = -3;
4m = -3-3 = -6;
m = -6/4 = -3/2, но m должно быть целым, поэтому этот случай не подходит.
1.4)
1+2m-2n = -2; и
2+2m+2n = -1;
складываем
3+ 4m = -3;
4m = -3-3 = -6;
m = -6/4 = -3/2 и этот случай также не подходит.
Т.о. в 1) лишь одно решение это x = 1/4 = 0,25.
2)
sin(п*Vx) = -1, и
sin(п*V(x+2) ) = 1.
п*Vx = (3п/2) + 2пn, где n - целое.
п*V(x+2) = (п/2) + 2пm, где m - целое.
Vx = (3/2) + 2n,
V(x+2) = (1/2) + 2m,
x = ((3/2) + 2n)^2; и (3/2)+2n>=0;
x+2 = ( (1/2) + 2m)^2 и (1/2)+2m >=0;
n>= -3/4, но n - целое, поэтому n>=0;
m>= -1/4, но m - целое, поэтому m>=0;
(x+2) - x = ( (1/2) + 2m)^2 - ( (3/2) + 2n)^2;
2 = ( (1/2) + 2m - (3/2) - 2n )*( (1/2) + 2m + (3/2) + 2n);
2 = ( -1 + 2m - 2n)*(2+2m+2n).
Т.к. m и n - целые, то множители правой части - тоже целые. Двойку можно разложить на два целых множителя следующими способами.
2 = 1*2 = 2*1 = (-1)*(-2) = (-2)*(-1).
То есть 4 варианта.
2.1)
-1+2m - 2n = 1;
2+2m+2n = 2;
складываем
1+4m = 3;
4m = 3-1 = 2;
m = 2/4 = 1/2, но m должно быть целым, поэтому здесь решений нет.
2.2)
-1 + 2m - 2n = 2;
2+2m+2n = 1;
складываем
1 + 4m = 3;
m = 2/4 = 1/2, тоже не подходит, т.к. m должно быть целым.
2.3)
-1+2m - 2n = -1;
2 + 2m + 2n = -2;
складываем
1 + 4m = -3;
4m = -3-1 = -4;
m = -4/4 = -1;
Но (как мы установили выше) должно быть m>=0. Поэтому этот вариант не подходит.
2.4)
-1+2m -2n = -2;
2+ 2m + 2n = -1;
складываем
1 + 4m = -3;
m = (-3-1)/4 = -1, но должно быть m>=0, поэтому этот вариант не подходит.
Ответ. x=0,25.