cos18x+4(a-1)sin9x-20a+69=0
заменим y=9x
cos2y+4(a-1)siny-20a+69=0
cos²y-sin²y+4(a-1)siny-20a+69=0
(1-sin²y)-sin²y+4(a-1)siny-20a+69=0
1-2sin²y+4(a-1)siny-20a+69=0
-2sin²y+4(a-1)siny-20a+70=0
2sin²y-4(a-1)siny+20a-70=0
sin²y-2(a-1)siny+10a-35=0
заменим siny=z, -1≤z≤1
z²-2(a-1)z+10a-35=0
D=4(a-1)²-4(10a-35)=4(a²-2a+1-10a+35)=4(a²-12a+36)=4(a-6)²
√D=2|(a-6)|
z₁=(2(a-1)-2|(a-6)|)/2=(a-1)-|(a-6)|
z₂=(2(a-1)+2|(a-6)|)/2=(a-1)+|(a-6)|
z=(a-1)+-(a-6)
1. -1≤z₁≤1
-1≤(a-1)-|(a-6)|≤1
1.1 (a-6)<0, a<6<br>-1≤(a-1)+(a-6)≤1
-1≤2a-7≤1
6≤2a≤8
3≤a≤4
1.2 (a-6)≥0, a≥6
-1≤(a-1)-(a-6)≤1
-1≤5≤1 решения нет
2. -1≤z₂≤1
-1≤(a-1)+|(a-6)|≤1
2.1 (a-6)<0, a<6<br>-1≤(a-1)-(a-6)≤1
-1≤5≤1 решения нет
2.2 (a-6)≥0, a≥6
-1≤(a-1)+(a-6)≤1
-1≤2a-7≤1
6≤2a≤8
3≤a≤4 решения нет, так как 3≤a≤4 протворечит a≥6
Ответ: 3≤a≤4 или a∈[3;4]