Найти общее решение дифф. уравнения y'''+4y''+5y'+2y=(12x+16)*e^x

Найдем сначала общее однородное уравнение

$y'''+4y''+5y'+2y=0$

Перейдем к характеристическому уравнению.
Пусть $y=e^{kx}$ , тогда получаем

$k^3+4k^2+5k+2=0\\ k^3+k^2+3k^2+3k+2k+2=0\\ k^2(k+1)+3k(k+1)+2(k+1)=0\\ (k+1)(k^2+3k+2)=0\\ (k+1)(k^2+k+2k+2)=0\\ (k+1)(k(k+1)+2(k+1))=0\\ (k+1)^2(k+2)=0\\ k=-1\\ k=-2$

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид:

$y_o=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+xC_3e^{-x}$

Нахождение частного решения;

$y'''+4y''+5y'+2y=4e^x(3x+4)$

n=1 то частное решение будем искать в виде: $\widetilde{y}=e^x(Ax+B)$

Найдем производные

$y'=e^x(Ax+A+B)\\ \\ y''=e^x(2A+Ax+B)\\ \\ y'''=e^x(B+3A+Ax)$

Подставим в исходное уравнение, сократив на $e^x$

$B+3A+Ax+8A+4Ax+4B+5Ax+5A+5B+2Ax+2B=\\ \\ \\ =12x+16\\ \\ \\ 12Ax+16A+12B=12x+16$

Приравниваем коэффициенты при степени х

$\displaystyle \left \{ {{12A=12} \atop {16A+12B=16}} \right. \to \left \{ {{A=1} \atop {B=0}} \right.$

Тогда решение частного решения будет иметь вид:

$\widetilde{y}=xe^x$

Общее решение данного дифференциального уравнения:

$\boxed{\dot{y}=y_o+\widetilde{y}=C_1e^{-2x}+C_2e^{-x}+xC_3e^{-x}+xe^x}$