4sinx+корень3 sin2x=2cos2xsinx

0 голосов
136 просмотров

4sinx+корень3 sin2x=2cos2xsinx


Алгебра (1.2k баллов) | 136 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
4\sin x+ \sqrt{3} \sin2x=2\cos2x\sin x\\ \\ 4\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-2\cos 2x\sin x=0\\ 2\sin x(2+\sqrt{3}\cos x-\cos2x)=0

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

\sin x=0\\ \\ \underline{x_1=\pi k,k \in Z}

2+\sqrt{3}\cos x-\cos2x=0\\ \\ 2+\sqrt{3}\cos x-2\cos^2x+1=0\\ \\ 2\cos^2x-\sqrt{3}\cos x-3=0

Пусть \cos x=t(|t| \leq 1) тогда получаем

2t^2-\sqrt{3}t-3=0\\ D=b^2-4ac=(-\sqrt{3})^2-4\cdot2\cdot(-3)=27\\ \\ t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{2\cdot 2} =\sqrt{3}\,\, \notin [-1;1]\\ \\ \\ t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2\cdot2} =- \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Обратная замена

\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \underline{x_2=\pm \dfrac{5\pi}{6}+ 2 \pi n,n \in Z}