Помогите решить B1. Ломаю голову и не могу.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

ОДЗ: x > 0.

Выражаем второй логарифм через что-то разумное:
$\log_{16}\sqrt[3]{\dfrac1x}=\log_{2^4}x^{-1/3}=-\dfrac1{12}\log_2x=-\dfrac14\log_8x$

Подставляем:
$\dfrac32\cdot\log_8^2x-\dfrac{47}{4x}\log_8x=\dfrac2{x^2}$

Домножаем на x в квадрате:
$\dfrac32\cdot x^2\log_8^2x-\dfrac{47}4\cdot x\log_8x-2=0\\ 6(x\log_8x)^2-47x\log_8x-8=0$

Получили квадратное уравнение относительно $t=x\log_8x$ . Решаем:
$6t^2-47t-8=0\\ D=47^2+4\cdot6\cdot8=(48-1)^2+4\cdot48=48^2+2\cdot48+1=49^2\\ t=\dfrac{47\pm49}{2\cdot6}\\ t\in\{-1/6;8\}$

Возвращаемся к иксам. Получаем два случая.
1) $x\log_8x=-1/6;\quad x\log_2x=-1/2$

Рассмотрим функцию y = x log2(x). Найдём её производную:
$y'=\dfrac{1+\ln x}{\ln2}$

y' <= 0 при 0 < x <= 1/e, y' >= 0 при 1/e <= x. Тогда в точке x = 1/e достигается минимум функции, при (0, 1/e] функция убывает, при [1/e, +∞) функция возрастает. Значит, на каждом из этих промежутков может быть не более одного корня. <br>
Корни придётся искать подбором. На (0, 1/e] корень x = 1/4, на [1/e, +∞) корень x = 1/2. Других корней по доказанному нет.

2) $x\log_8x=8$

На отрезке [0, 1] корней нет, там функция отрицательна, при x > 1 y' > 0. Значит, у уравнения не более одного корня. И вновь подбор: x = 8.

Ответ: 1/4, 1/2, 8.

nelle987_zn (148k баллов) 15 Май, 18