Task/24758238
---.---.---.---.---.---
Произвести полное исследование (по схеме) функции F(x) = x / (x²+1) и построит график
----------------
1.
ООФ : x∈( - ∞; ∞).
---
2.
F(x) = x / (x²+1) _нечетная функция
* * * F(-x) = - x/ ( (-x)² +1) = -x / (x²+1) = - F(x) * * *
График функции будет симметрично относительно начало координат_(0;0) * * *построить график x∈[0 ; ∞) ,потом симм отн (0;0)* * *
---
3.
Пересечение с координатными осями
x=0 ⇒ F(0) =0 и F(0) =0 ⇒x=0 начало координат (0 ;0) .
---
4.
Критические точки функции (производная функции равно нулю или не существует)
F'(x) =( x / (x²+1) ) '=((x)' *(x² +1) - x*(x²+1)' )/(x² +1)² =
(1*(x²+1) -x*(2x +0) ) / (x² +1)² =(1 - x² ) / (x²+1)² .
F'(x) =(1+x) (1-x) / (x²+1)²
F'(x) =0 ⇒ x =± 1.
F'(x) существует при всех x
---
5.
интервалы монотонности (возрастания, убывания)
F '(x) " - " " +" " -"
--------------------------- [-1 ] ------------------------------ [1] --------------------
F(x) убывает (↓) min возрастает(↑) max убывает(↓)
Убывает , если x∈(-∞; -1] и x∈[1 ;∞; )
Возрастает , если x∈ [-1; 1].
6.
точки экстремума
x = -1 ; x =1 (производная меняет свой знак при переходе через эти точки)
---
7.
Минимальное значение функции: min F(x) =F(-1) =(-1) / ( (-1)²+1)= - 0,5.
Максимальное значение функции:max F(x) =F(1) = 1 / ( 1² +1) = 0,5 .
* * * F(-1) = - F(1) = -0,5 нечетность* * *
---
8.
Промежутки выпуклости ( F''(x) ≤0 ) и вогнутости ( F''(x) ≤0 ) кривой
F''(x) =( F'(x)) ' = ( (1 - x² ) / (x²+1)² ) ' =
(-2x(x ²+1)² - (1 - x² )*2(x ²+1)*2x ) / (x²+1)⁴ = -2x(x²+1)(x ²+1-2x²+2)/(x²+1)⁴ =
x(x² -3)/x²+1)³ = x(x+√3)x(x -√3) / (x²+1)³
F''(x) " - " "+" "-" "+"
---------------------- [-√3 ]---------------------- [0] ------------------- [√3 ] ---------------------
вып. вогн. вып. вогн.
точки перегиба : { -√3 ; 0 ; √3 }
график см приложение
