Корни уравнения принадлежат промежутку корень 25-x^2 + корень 9-x^2=9x^4+8

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$\sqrt{25-x^2}+ \sqrt{9-x^2}=9x^4+8$

Данное уравнение решается методом "ограниченности функций"

обозначим левую часть уравнения за f(x), а правую за g(x), то есть

$f(x)=\sqrt{25-x^2}+ \sqrt{9-x^2} \\ g(x)=9x^4+8$

найдем области значений этих функций, с помощью производной:

$f(x)=\sqrt{25-x^2}+ \sqrt{9-x^2} \\ \\ f'(x)= \frac{-2x}{2 \sqrt{25-x^2} } + \frac{-2x}{ 2\sqrt{9-x^2} } =0 \\ \\ -x(\frac{1}{ \sqrt{25-x^2} } + \frac{1}{ \sqrt{9-x^2} } )=0$

Корень квадратный всегда не отрицательный, значит
$\frac{1}{ \sqrt{25-x^2} }\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{1}{ \sqrt{9-x^2} } \ \textgreater \ 0$
следовательно

$\frac{1}{ \sqrt{25-x^2} } + \frac{1}{ \sqrt{9-x^2} }\ \textgreater \ 0$

то есть наше уравнение можно разделить на это выражение и останется только:

$-x=0 \\ x=0 \\ \\ +++++(0)-----\ \textgreater \ x$

отсюда x=0 - точка максимума, значит

$f(0)=\sqrt{25-0^2}+ \sqrt{9-0^2} =5+3=8$

то есть наша функция сверху ограниченна числом 8, то есть f(x)≤8,
а чтобы узнать как она ограничена снизу, нужно еще указать ОДЗ, но для решения в данном случае нам это не нужно

$g(x)=9x^4+8 \\ g'(x)=36x^3=0 \\ \\x=0 \\ \\ ----(0)++++\ \textgreater \ x$

x=0 - точка минимума

$g(0)=9*0^4+8=8$

Область значения g(x):

$E(g)=[8;+\infty)$

теперь мы видим такую картину:

f(x)≤8 , а g(x)≥8, значит эти две функции могут быть равны только тогда, когда они обе равны 8

$\left \{ {{f(x) \leq 8} \atop {g(x) \geq 8}} \right.\ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{f(x)=8} \atop {g(x)=8}} \right. \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \left \{ {{\sqrt{25-x^2}+ \sqrt{9-x^2} =8} \atop {9x^4+8=8}} \right.$
здесь проще решить второе уравнение и посмотреть будет ли его корень, корнем первого:

$9x^4+8=8 \\ 9x^4=0 \\ x=0$

подставляем х=0 в первое уравнение:

$\sqrt{25-0}+ \sqrt{9-0} =8 \\ \\ 5+3=8 \\ \\ 8=8$

получилось верное равенство, значит x=0, также является корнем первого уравнения

Ответ: x=0

Alexandr130398_zn (25.8k баллов) 15 Май, 18