N*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 =
= (n*(n+3)) * ((n+1)*(n+2)) +1 =
= (n²+3n) * (n²+n+2n+2)+1 =
= (n²+3n) * (n²+3n+2) + 1 =
= (n²+3n) * ((n²+3n)+2) + 1 =
= (n²+3n)² + 2*(n²+3n) + 1
Очевидно, что последнее выражение - это квадрат суммы,
a² + 2ab + b² = (a + b)²
где
(n²+3n) соответствует a
1 соответствует b.
Получаем
(n²+3n)² + 2*(n²+3n) + 1 = ((n²+3n) + 1)² = (n²+3n+1)² - это и есть квадрат некоторого числа (n²+3n+1).