Для нахождения экстремумов нужно взять производную, приравнять её нулю и решить полученное уравнение.
Раскроем скобки:
f(x) = 4 x^2 (x - 2)^2 = 4 x^4 - 16 x^3 + 16 x^2
Производная:
f'(x) = 16 x^3 - 48 x^2 + 32 x = 16x (x^2 - 3x + 2) = 0
Первый корень x1 = 0, два других находятся в результате решения квадратного уравнения x2 = 1; x3 = 2
Проверяем, какая из критических точек максимум, какая минимум.
В точке х1 = 0 первая производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это минимум.
В точке х2 = 1 первая производная меняет знак с плюса на минус - это максимум.
В точке х3 = 2 первая производная меняет знак с минуса на плюс - это минимум.
Знак определяется подстановкой в производную ближайших значений слева и справа от критической точки.
Находим значения функции в этих точках.
ymin = f(0) = 0
ymax = f(1) = 4
ymin = f(2) = 0