(sinx+cosx)^2 -3(sinx+cosx) +2=0 Количество корен. ** отрезке (0;2п) включая

Question

(sinx+cosx)^2 -3(sinx+cosx) +2=0
Количество корен. на отрезке (0;2п) включая

Answer 1

(sinx+cosx)^2 -3(sinx+cosx) +2=0
Совокупность: \left \{ {{sinx+cosx=2} \atop {sinx+cosx=1}} \right. 
Верхнее не имеет решения, так как синус и косинус одновременно не могут быть равны 1
Решаем нижнее
sinx+cosx=1
sqrt(2)/2*sinx+sqrt(2)/2*cosx=sqrt(2)/2
cosx*cos(pi/4)+sinx*sin(pi/4)=sqrt(2)/2
cos(x-pi/4)=sqrt(2)/2
x-pi/4=+-pi/4+2pik, k∈z
x=pi/4+-pi/4+2pik, k∈z

На промежутке (0;2pi): 1 корень: x=pi/2

Answer 2

Sinx+cosx=a
a²-3a+2=0
a1+a2=3 U a1*a2=2
a1=1⇒sinx+cosx=1
sinx+sin(π/2-x)=1
2sinπ/4cos(x-π/4)=1
√2cos(x-π/4)=1
cos(x-π/4)=1/√2
x-π/4=+-π/4+2πk
x=π/4-π/4+2πk=2πk U x=π/4+π/4+2πk=π/2+2πk
0≤2πk≤π U 0≤π/2+2πk≤π
0≤k≤1/2 нет решения U 0≤1+4k≤2⇒-1≤4k≤1⇒-1/4≤k≤1/4  k=0⇒x=π/2
a2=2⇒sinx+cosx=2
√2cos(x-π/4)=2
cos(x-π/4)=√2>1 нет решения
Ответ один корень