При каких значениях k уравнение 3х+1\(х+1)=k-2 имеет отрицательный корень?я вывожу...

Да, правильно.

Алгоритм решения таков.

1) Преобразуем выражение в линейное уравнение относительно x:
$3x+1=(k-2)(x+1)\\kx-2x+k-2=3x+1\\x(k-5)+k-3=0\\x= \frac{3-k}{k-5} \ \textless \ 0$

Нам надо узнать, при каких значениях параметра $x$ (в данном случае удобно считать его функцией, а k — аргументом функции) меньше нуля. Воспользовавшись методом интервалов, получим:

$x\ \textless \ 0$ при $k \in (- \infty; 3] \cup (5;+\infty)$