Доказать, что высоты в треугольнике пересекаются в одной точке (желательно без...

Question

Доказать, что высоты в треугольнике пересекаются в одной точке (желательно без использования теоремы Чевы)

Comments

Мне нравится эстетически это построение. Даже и не знаю, почему - оно совсем простенькое.

---

Спасибо, оно у меня тоже самое любимое

---

Замечание про гомотетию сразу дает решение для https://znanija.com/task/24561571. Ну, есть центр G=G'; и точки H, H' и O, O', причем вектор GH' = вектору GO; штрихами обозначены точки меньшего треугольника. Отсюда легко найти GO', то есть положение центра окружности 9 точек. Ну и само собой, все 4 точки лежат на прямой Эйлера. (4 - потому что O = H' :). Остается вспомнить, как расположены O ' G и H' относительно друг друга.

---

Здорово!

---

К сожалению, идея не моя, а очень известная :) А то было бы чем гордиться :) Я тоже люблю, когда вроде бы сложная задача решается сама собой.

---

Здесь тот случай, когда гомотетия - идеальный инструмент решения.

---

Я в этой ситуации пользовался гомотетией с центром в H

Answer 1

Доказательство опирается на то, что серединные перпендикуляры к сторонам тоже пересекаются в одной точке. 
Проведём через каждую вершину ΔABC прямую, параллельную противоположной стороне. 
Раз стороны ΔABC параллельны сторонам ΔA₂B₂C₂, то AB, BC и AC - средние линии (т.к. параллельны и равны половине данных сторон, это следует из того, что C₂BCA, ABCB₂, ABA₂C - параллелограммы, а как известно, противоположные стороны параллелограммов равны).
Тогда  прямые AA₂, BB₂ и CC₂ будут отсекать от сторон треугольников равные отрезки.
Опять же, т.к. стороны ΔABC параллельны сторонам ΔA₂B₂C₂, то A₁A ⊥ C₂B₂, B₁B ⊥ C₂A₂, C₁C ⊥ A₂B₂, т.к. если две прямые параллельны, то прямая, перпендикулярная одной из них, будет перпендикулярна и второй.
Тогда AA₁, BB₁, CC₁ - перпендикуляры к сторонам Δ₂B₂C₂. Но выше доказано, что AA₁, BB₁, CC₁ отсекают от сторон треугольника равные отрезки. Тогда AA₁, BB₁, CC₁ - серединные перпендикуляры к сторонам ΔA₂B₂C₂. Серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Но т.к. AA₁, BB₁, CC₁ - высоты ΔABC, то и высоты будут пересекаться в одной точке.

Answer 2

Если провести через вершины треугольника прямые параллельно противоположным сторонам, то получится треугольник с вдвое большими сторонами, чем у исходного, для которого высоты исходного треугольника будут медиатриссами (перпендикулярами, проведенными к сторонам в их серединах). Очевидно, что медиатриссы пересекаются в одной точке - центре описанной окружности (для "удвоенного" треугольника).
Замечание. Ясно, что эти треугольники гомотетичны с центром в точке пересечения медиан, и коэффициентом -2. Точка пересечения высот при этом "становится" центром описанной окружности.