Доказать, что если из квадрата нечётного числа вычесть 1 , то результат будет делиться **...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Доказательство:

Пусть $n$ натуральное число, тогда $2n-1$ будет натуральным и нечётным числом. Возведем данное число в квадрат:

$(2n-1)^2=(2n)^2-4n+1=4n^2 -4n+1$

Вычтем 1 и получим:

$4n^2-4n$

Докажем с помощью математической индукции, что данное число делиться на 8:

При $n=1\Rightarrow 4-4=0$ , 0 делиться на 8, следовательно условие выполняется.

Предположим что данное число делиться на 8 при некотором $n$ . Докажем что данное число делиться на 8 при $n+1$ :

$4(n+1)^2-4(n+1)=4(n^2+2n+1)-4n+4=\\\\=4n^2+8n+4-4n+4=(4n^2-4n)+8n+8=\\\\(4n^2-4n)+8(n+1)$

По предположению $4n^2-4n$ делиться на 8. Следовательно, существует натуральный $k$ так что:

$4n^2-4n=8k$

Отсюда:

$(4n^2-4n)+8(n+1)=8k+8(n+1)=8(k+n+1)$ следовательно, при $n+1$ данное число тоже делиться на 8. Ч.Т.Д.

Newtion_zn (46.3k баллов) 15 Май, 18

koingrel_zn · Answer 1 · 2018-05-15T12:35:58+0000

Рассмотрим нечетное число как (2x - 1). Доказательство:
(2х - 1)^2 - 1 = 4х^2 - 4х + 1 - 1 = 4х^2 - 4х = 4*х*(х - 1) => данное выражение делится на 4, но т.к в 'х*(х-1)' одно число четное, значит данное выражение делится и на 2 => все это выражение делится на 8.

ОТВЕТ: доказано.