Криволинейный интеграл 1 рода!!!

Question 1

Question 2

Статический момент, относительно ОХ:
$M_x= \int\limits_L {y \rho (x,y)} \, dl$
где ρ(x,y) - плотность

по условию ρ(x,y)=х

Для эллипса $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1$
x=acost
y=bsint

Переходим в параметрические координаты:

$x=cost \\ y=2sint$

так как эллипс - симметричная фигура, возьмем только первую четверть:

$M_x= \int\limits_L {y \rho (x,y)} \, dl = \int\limits_L {y x} \, \sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2} \ dt= \\ \\ = \int\limits^{ \pi /2}_0 {2sint*cost} \, \sqrt{sin^2t+4cos^2t} \ dt= \\ \\ =2\int\limits^{ \pi /2}_0 {sint*cost} \, \sqrt{1-cos^2t+4cos^2t} \ dt= \\ \\ =2\int\limits^{ \pi /2}_0 {sint*cost} \, \sqrt{1+3cos^2t} \ dt= -2\int\limits^{ \pi /2}_0 {cost} \, \sqrt{1+3cos^2t} \ d(cost)= \\ \\$

$=\begin{bmatrix}cost=a\\ cos0 = 1\\cos\frac{\pi}{2}=0\end{bmatrix}= -2\int\limits^{0}_1 {a \sqrt{1+3a^2}} \, \ d(a)=-\int\limits^{0}_1 { \sqrt{1+3a^2}} \, \ d(a^2)= \\ \\ =- \frac{1}{3} \int\limits^{0}_1 { \sqrt{1+3a^2}} \, \ d(3a^2+1)=- \frac{1}{3} \int\limits^{0}_1 {(1+3a^2)^ \frac{1}{2} } \, \ d(3a^2+1)= \\ \\ = -\frac{1}{3} * \frac{2(1+3a^2)^ \frac{3}{2} }{3} = -\frac{2}{9} (1+3a^2)^ \frac{3}{2} \ |^0_1 = -\frac{2}{9}(1-8)=\frac{14}{9}$

мы нашли только четверть момента эллипса, а чтобы найти момент всего, надо результат умножить на 4

$\frac{14}{9}*4= \frac{56}{9} \\ \\ OTBET: \ \frac{56}{9}$

Question 3

А у вас не остался черновик с решением?

Question 4

Нет

Question 5

Ладно, спасибо огромное!