Доказать неравенство

Воспользуемся неравенством $k! \geq 2^{k-1}$ , справедливо для любого $n \in N$

$\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}$

$1+ \frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +...+\frac{1}{n!} \leq 1+\frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\, \boxed{=}$

левая часть - это геометрическая прогрессия с первым членом $b_1=1$ и знаменателем $q=0.5$

$\boxed{=}\,\,2\cdot\bigg(1-\bigg( \dfrac{1}{2} \bigg)^\big{n}\bigg)\ \textless \ 2$

Что и требовалось доказать