√x-a * sinx=√x-a найдите значение параметра при котором уравнение имеет лишь 1 корень **...

Question 1

√x-a * sinx=√x-a найдите значение параметра при котором уравнение имеет лишь 1 корень на промежутке [0:П]

Question 2

ОДЗ: $x \geq a$

$\sqrt{x-a} \sin x=\sqrt{x-a} \\ \\ \sqrt{x-a} \sin x-\sqrt{x-a} =0\\ \sqrt{x-a} (\sin x-1)=0$

Произведение равно нулю, если один из множители равен нулю

$x-a=0;\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\,\, x=a\\ \\ \sin x-1=0\\ x= \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z$

Если k=0, то $x=\frac{\pi}{2}\in [0; \pi ]$

Чтобы уравнение имел лишь один корень достаточно чтоб $a=x=\frac{\pi}{2}$

Еще учтем, что $x \in [0; \pi ]$ , то $0 \leq a \leq \pi$ уравнение будет иметь 1 корень

Проверим на концах отрезка

Если а=0, то
$\sqrt{x} (\sin x-1)=0\\ x_1=0\\ x_2= \frac{\pi}{2}$

получили 2 корня, следовательно а=0 нам не подходит

Если а = π, то
$x_1= \pi \\x_2= \frac{\pi}{2} \notin[ \pi ;+\infty)$

Подходит

Ответ: $a_1=\frac{\pi}{2}; a_2=\pi$

аноним · Answer 1 · 2018-05-15T13:33:12+0000

ОДЗ: $x \geq a$

$\sqrt{x-a} \sin x=\sqrt{x-a} \\ \\ \sqrt{x-a} \sin x-\sqrt{x-a} =0\\ \sqrt{x-a} (\sin x-1)=0$

Произведение равно нулю, если один из множители равен нулю

$x-a=0;\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\,\, x=a\\ \\ \sin x-1=0\\ x= \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z$

Если k=0, то $x=\frac{\pi}{2}\in [0; \pi ]$

Чтобы уравнение имел лишь один корень достаточно чтоб $a=x=\frac{\pi}{2}$

Еще учтем, что $x \in [0; \pi ]$ , то $0 \leq a \leq \pi$ уравнение будет иметь 1 корень

Проверим на концах отрезка

Если а=0, то
$\sqrt{x} (\sin x-1)=0\\ x_1=0\\ x_2= \frac{\pi}{2}$

получили 2 корня, следовательно а=0 нам не подходит

Если а = π, то
$x_1= \pi \\x_2= \frac{\pi}{2} \notin[ \pi ;+\infty)$

Подходит

Ответ: $a_1=\frac{\pi}{2}; a_2=\pi$