Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции чаще всего используется график функции. В некоторых случаях можно найти наибольшее и наименьшее значения функции и без помощи графика, используя рассуждения. В более сложных случаях используется производная. Для этого сформулируем некоторые теоремы:
1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений (Эта теорема доказывается в курсе высшей математики).
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции f(x) на отрезке [a;b]:
1. Найти производную f′(x).
2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b].
3. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет yнаим) и наибольшее (это будет yнаиб).
А как быть, если речь идет о нахождении наибольшего или наименьшего значения функции, непрерывной на незамкнутом промежутке, например на интервале? Можно построить график функции и снять информацию с полученной графической модели. Но чаще оказывается более удобным использовать следующую теорему.
Теорема. Пусть функция y=f(x)непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x0. Тогда:
а ) если x=x0 — точка максимума, то yнаиб=f(xo);
б ) если x=x0 — точка минимума, то yнаим=f(xo).
На рисунках приведены соответствующие геометрические иллюстрации.