Находим производную функции y = x³+2x²+x-7:
y' = 3x²+4x+1 и приравниваем её нулю:
3x²+4x+1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=4²-4*3*1=16-4*3=16-12=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√4-4)/(2*3)=(2-4)/(2*3)=-2/(2*3)=-2/6=-(1/3) ≈ -0.33333;x₂=(-√4-4)/(2*3)=(-2-4)/(2*3)=-6/(2*3)=-6/6 = -1.
Найденные точки делят область определения функции на 3 промежутка:
(-∞; -1), (-1; (-1/3)), ((-1/3); +∞).
Находим знаки производной на полученных промежутках:
x =
-2 -1
-0,5
-0,3333
0
y' =
5
0
-0,25
0 1.
Видим, что в точке х = -1/3 производная меняет знак с - на +.
Это признак минимума функции.
Значение функции в этой точке равно:
у(-1/3) = (-1/3)³ + 2*(-1/2)² + (-1/3)- 7 = -7,1481.