Привет, помогите решить задачу с использованием дифференциальных уравнений. Вращающийся в...

0 голосов
31 просмотров

Привет, помогите решить задачу с использованием дифференциальных уравнений.

Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения. Известно, что трение пропорционально угловой скорости. Определить, с какой скоростью будет вращаться диск в момент t = 4 мин, если при t = 0 он делает 120 об/мин, а при t = 1 мин его скорость стала 80 об/мин

Математика (20 баллов) | 31 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Напишем дифференциальное уравнение для угловой скорости \omega:
\omega'(t)=-\alpha\omega(t), \;\alpha\ \textgreater \ 0

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
\omega(t)=\omega(0)e^{-\alpha t}

По условию \omega(0)=120, а e^{-\alpha} можно найти из условия \omega(1)=80:
\omega(1)=120e^{-\alpha}=80\\ e^{-\alpha}=\dfrac23\\ \boxed{\omega(t)=180\cdot\left(\dfrac23\right)^t}

ω(4) = 180 * (2/3)^4 = 320/9 ≈ 35.6 об/мин

(148k баллов)
Похожие задачи