Решить уравнение

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Я бы начал с определения. Поскольку автор вопроса не указал точно, что он понимает под записью $x^x$ , а в разных частях математики это означает разные вещи, то дадим определение, которое будем использовать для решения этого уравнения.
По определению будем считать, что запись $x^x$ означает функцию действительного переменного x, заданную формулой $e^{x\ln x}$ . При таком задании область определения: x>0.

В этом определении на своей ОДЗ она совпадает со школьным определением степенной функции $x^a$ , в которой показатель равен х, и со школьным определением показательной функции $a^x$ с положительным основанием равным х и отличным от 1. Если бы мы решили смотреть на левую часть уравнения как на одну из этих функций, то для каждого определения получили бы свой набор корней. Например, если смотреть как на степенную функцию, то х=-1 было бы корнем, т.к. по определению в степенной функции $x^{-1}$ отрицательные аргументы допустимы, хотя уже для степенной функции $x^{1/3}$ с нецелым рациональным показателем отрицательные аргументы не допустимы (здесь не буду вдаваться в причины этого), но при этом, если запишу почти то же самое не в виде степени, а в виде кубического корня $\sqrt[3]{x}$ , то отрицательные аргументы в нем уже допустимы. Поэтому я и говорю, что надо начинать с определений, т.к. правильное решение зависит от того, какое определение мы дадим записи в левой части.

Итак, мы имеем уравнение
$e^{x\ln x}=x$
Это равносильно
$e^{x\ln x}=e^\ln x$ , откуда, в силу монотонности экспоненты
${x\ln x}=\ln x$ , т.е.
$(x-1)\ln x=0$ . Значит, либо х-1=0, либо ln x=0, что дает единственный корень x=1.

Denik777_zn (56.6k баллов) 15 Май, 18