Помогите решить систему уравнений:3*x*y - x^2 - y^2 = 57*x^2*y^2 - x^4 - y^4 = 155Должны...

66 просмотров

Помогите решить систему уравнений:
3*x*y - x^2 - y^2 = 5
7*x^2*y^2 - x^4 - y^4 = 155

Должны получится ответы (2;3), (3,2), (-3,-2), (-2,-3)
Сразу говорю, что дополнять до полного квадрата нет смысла, в итоге получится отрицательный дискриминант. Я не прошу подробного решения. Я прошу подсказать его способ, подтолкнуть в правильном направлении.

Алгебра Lion14_zn (117 баллов) 14 Март, 18 | 66 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Нужно заметить то что выражение $7x^2y^2-x^4-y^4$ как то разложить на множители, так как очевидно что это система не будет решаться не рациональным способ, я имею ввиду что подстановкой х через у
$7x^2y^2-x^4-y^4$ можно конечно как то преобразовывать это выражение
$7x^2y^2-x^4-y^4\\ x^4+y^4-7x^2y^2\\ x^4+y^4+2x^2y^2-9x^2y^2\\ (x^2+y^2)^2-9x^2y^2\\ (x^2+y^2)^2-(3xy)^2=(x^2+y^2-3xy)(x^2+y^2+3xy)\\$
то есть видим что один из сомножителей похож на первое уравнение системы
$-(x^2-3xy+y^2)(x^2+3xy+y^2)=155\\ (3xy-x^2-y^2)(x^2+3xy+y^2)=155\\ 3xy-x^2-y^2=5\\ 5(x^2+3xy+y^2)=155\\ x^2+3xy+y^2=31\\ \\ \left \{ {{3xy-x^2-y^2=5} \atop {x^2+3xy+y^2=31}} \right. \\ \\ x^2+y^2+5+x^2+y^2=31\\ x^2+y^2=13\\$

Дальше решить не сложно

Матов_zn (224k баллов) 14 Март, 18