Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции,...

0 голосов
76 просмотров

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной параболой y2 = 2x, прямой х = 3 и осью ОХ

Выберите один ответ: 9π
6
0
11π

Математика (15 баллов) | 76 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

Y²=2x, y=√(2x). x≥0

x | 0 | 1 | 2 | 4  |
y | 0 |√2| 2 |2√2

границы (пределы) интегрирования:
y²=0, 2x=0. x=0
а=0, b=3

объём, тела полученного при вращении параболы (в данном случае) вокруг оси Ох и ограниченной прямыми х=а и х=b, вычисляется по формуле(11 класс средней школы) :

V= \pi * \int\limits^a_b { (f} (x)) ^{2} } \, dx

V= \pi * \int\limits^3_0 {( \sqrt{2x} ) ^{2} } \, dx = \pi * \int\limits^3_0 {2x} \, dx = \pi * \frac{2 x^{2} }{2} | _{0} ^{3} = \pi * x^{2} | _{0} ^{3} = \pi *( 3^{2} -0^{2} )
V=9π

(275k баллов)
0 голосов

Зачем удалять решение, если ВЫ сами не знаете, как его решить. Ну ландо, данная фигура - это полуэллипсоид, объем полуэллипсоида равен обьему эллипсоида разделить на 2. Что бы найти объем эллипсоида 
V = (4/3)π * abc, где а - первая полуось ( расстояние от центра до начала координат , в нашем случае = 3, так как х=3), b - вторая полуось, которая равна и третьей полуоси "с", b = c = корень квадратный из 6, а получаем мы корень квадратный из 6, из уравнения у² = 2х, подставляя вместо х =3, тогда будет у² = 6, откуда у=√6, эту фигуру крутим и получаем b, которое тоже равно √6.
Все значения у нас есть, осталось только подставить, но почему то выходит 12π, а ответ есть 11π, по этому скорее всего он правильный, а теряем мы 1π наверное из-за того что эта формула не точна для данной фигуры, а подробное решение с точной формулой можно получить благодаря тройным интегралам, которые изучаются на 2 курсе высшей математики.

(706 баллов)
Похожие задачи