Найти интеграл, используя выделение полного квадрата в многочлене знаменателя.

Решите задачу:

$\displaystyle \int\frac{2x+1}{x^2+2x+3}\,dx=\int\frac{(2x+2)-1}{x^2+2x+3}\,dx=\int\frac{d(x^2+2x+3)}{x^2+2x+3}-\\-\int\frac{dx}{x^2+2x+3}=\ln(x^2+2x+3)-\int\frac{dx}{(x^2+2x+1)+2}=\\=\ln(x^2+2x+3)-\int\frac{dx}{(x+1)^2+2}=\ln(x^2+2x+3)-\\-\frac1{\sqrt2}\int\frac{d((x+1)/\sqrt2)}{((x+1)/\sqrt2)^2+1}=\\=\ln(x^2+2x+3)-\frac1{\sqrt2}\mathop{\mathrm{arctg}} \left(\frac{x+1}{\sqrt2}\right)+C$